===== TEOREMA DE GÖDEL =====
Em 1921 Kurt Gödel (então com vinte e cinco anos) publicou um [[lexico:t:trabalho|trabalho]] intitulado Sobre [[lexico:s:sentencas|sentenças]] formalmente indecidíveis no [[lexico:p:principia-mathematica|Principia Mathematica]] e sistemas relacionados. Gödel se referia à tentativa (de A.N. Whitehead e Bertrand [[lexico:r:russell|Russell]]) no [[lexico:s:sentido|sentido]] de desenvolver um [[lexico:f:formalismo|formalismo]] suficientemente amplo para poder enquadrar e demonstrar [[lexico:t:todo|todo]] o [[lexico:c:corpus|corpus]] matemático até então desenvolvido. Esta tentativa foi publicada em 1913 sob o título de Principia Mathematica (273), e embora muitas das técnicas utilizadas pelos dois autores sofressem críticas "filosóficas", o resultado global era impressionante, e parecia indicar que, muito brevemente, seria conseguido um formalismo satisfatório para todos os investigadores e ao mesmo [[lexico:t:tempo|tempo]] rico o bastante para fundamentar toda a [[lexico:m:matematica|matemática]].

Mesmo assim, já antes do [[lexico:f:fim|fim]] da segunda década do século alguns resultados teóricos pareciam levantar uma [[lexico:d:duvida|dúvida]] a [[lexico:r:respeito|respeito]] dessa [[lexico:p:possibilidade|possibilidade]] de [[lexico:f:formalizacao|formalização]] global. Em 1926, Paul Finsler (172, 96) apresentou um ([[lexico:a:aparente|aparente]]) [[lexico:p:paradoxo|paradoxo]] que sugeria a possibilidade da [[lexico:e:existencia|existência]] de proposições [[lexico:n:nao|não]] decidíveis (isto é, de afirmativas cuja [[lexico:v:veracidade|veracidade]] não poderia [[lexico:s:ser|ser]] comprovada mecanicamente — v. [[lexico:m:maquina|máquina]] matemática) construídas em torno da [[lexico:a:aritmetica|aritmética]]. Em 1930 Gödel provou que o [[lexico:c:calculo|cálculo]] de [[lexico:p:predicados|predicados]] é completo, isto é, que o conjunto das proposições que podem ser demonstradas a partir dos axiomas do cálculo de predicados coincide com o conjunto das proposições "verdadeiras" deste cálculo (o cálculo de predicados é a [[lexico:l:linguagem|linguagem]] utilizada por Whitehead e Russell para a [[lexico:d:deducao|dedução]] do corpus da matemática; o resultado de Gödel mostra que as proposições "verdadeiras" — a [[lexico:v:verdade|verdade]], sendo um [[lexico:c:conceito|conceito]] semântico , é externa ao [[lexico:s:sistema|sistema]] — equivalem às proposições dedutíveis no sistema. Quer dizer, a [[lexico:v:visao|visão]] "de fora" coincide com a visão "de dentro").

Mas em 1931, em seu trabalho acima citado, Gödel provou dois teoremas de extrema importância. Diz o primeiro: se a formalização da [[lexico:t:teoria|teoria]] dos números é consistente, então ela é é incompleta. Diz o segundo: se a formalização da teoria dos números é consistente, então não há nenhuma [[lexico:p:prova|prova]] de [[lexico:c:consistencia|consistência]] que possa ser realizada dentro do sistema. Um [[lexico:s:sistema-formal|sistema formal]] é "consistente" se não se pode provar, dentro dele, e simultaneamente, uma afirmativa e a sua [[lexico:c:contradicao|contradição]]. Um sistema é completo se o conjunto das proposições demonstráveis coincide com o conjunto das proposições verdadeiras. Exponhamos rapidamente a base do [[lexico:r:raciocinio|raciocínio]] de Gödel levando ao primeiro [[lexico:t:teorema|teorema]]. Seja a seguinte afirmativa: A significa que A é não-demonstrável. Gödel construiu uma [[lexico:s:sentenca|sentença]] "A" cujo [[lexico:s:significado|significado]] era precisamente este (a sentença A faz uma [[lexico:r:referencia|referência]] a si mesma). Em seguida, Gödel supôs: sentenças falsas são não-demonstráveis.

Então A não pode ser falsa: se ela fôr falsa, "A significa que A é não-demonstrável" é falsa. Então A seria demonstrável. Mas A demonstrável e A falsa contradiria a nossa [[lexico:s:suposicao|suposição]] de que sentenças falsas são não-demonstráveis. Mas A pode ser verdadeira, desde que seja não-demonstrável. Suponhamos que A é demonstrável. Então, "A significa que A é não-demonstrável" é uma sentença falsa. Sendo falsa, ela é não-demonstrável, já que supusemos que sentenças falsas são não-demonstráveis. Isto contradiz nossa [[lexico:h:hipotese|hipótese]] a respeito da demonstrabilidade de A. Por [[lexico:r:reducao|redução]] ao [[lexico:a:absurdo|absurdo]] (uma hipótese levando à sua contradição) vemos que a hipótese é errada, e que A deve ser não-demonstrável. Mostrando-se que a [[lexico:n:negacao|negação]] de A, não-A, é também não-demonstrável (A é verdadeira; então, não-A é falsa. Sendo falsa, é não-demonstrável), revela-se como o sistema é incompleto’.

Os dois teoremas de Gödel causaram muito espanto e grande polêmica. Ainda em 1933, [[lexico:e:ensaios|Ensaios]] publicados a respeito da [[lexico:f:filosofia-da-matematica|filosofia da matemática]] a ele se referiam com certa dúvida, e até cerca de 1940 muitas objeções foram levantadas em torno. Em 1936 Gentzen levantou, por um [[lexico:m:metodo|método]] de raciocínio menos [[lexico:e:estrito|estrito]] que o de Gödel, as dúvidas a respeito da consistência da teoria dos números.