===== NÚMERO =====
(gr. [[lexico:a:arithmos:start|arithmos]]; lat. numerus; in. Number; fr. Nombre; al. Zahl; it. Numero).

Na [[lexico:h:historia:start|história]] deste [[lexico:c:conceito:start|conceito]], podem-se distinguir [[lexico:q:quatro:start|Quatro]] fases conceptuais diferentes, que deram [[lexico:l:lugar:start|lugar]] a quatro definições diferentes: 1) fase realista; 2) fase subjetivista; 3) fase objetivista; 4) fase convencionalista.

1) A fase realista é caracterizada pela [[lexico:t:tese:start|tese]] de que o número é um [[lexico:e:elemento:start|elemento]] [[lexico:c:constitutivo:start|constitutivo]] da [[lexico:r:realidade:start|realidade]], por [[lexico:s:ser:start|ser]] acessível à [[lexico:r:razao:start|razão]], mas [[lexico:n:nao:start|não]] aos sentidos. Essa foi a tese dos pitagóricos, que, segundo relata [[lexico:a:aristoteles:start|Aristóteles]], acreditavam que "as [[lexico:c:coisas:start|coisas]] são número", ou seja, "compostas de número como seus [[lexico:e:elementos:start|elementos]]" (Met., XIV, 3, 1090 a 21). A esta [[lexico:c:crenca:start|crença]] está ligada a [[lexico:d:definicao:start|definição]] de número como "[[lexico:s:sistema:start|sistema]] de unidades", própria dos pitagóricos (J. Stobeo, Ecl., I, 18): essa definição serviu de [[lexico:m:modelo:start|modelo]] à de [[lexico:e:euclides:start|Euclides]] ("[[lexico:m:multidao:start|multidão]] de unidades", El., VII, 2) e durante muito [[lexico:t:tempo:start|tempo]] fundamentou a [[lexico:m:matematica:start|matemática]]. Para [[lexico:p:platao:start|Platão]], o número encontrava-se onde houvesse uma [[lexico:o:ordem:start|ordem]], um [[lexico:l:limite:start|limite]] do [[lexico:i:ilimitado:start|ilimitado]]. Entre a [[lexico:m:multiplicidade:start|multiplicidade]] ilimitada (p. ex., dos sons vocais) e a [[lexico:u:unidade:start|unidade]] absoluta, o número se insere como um limite (p. ex., [[lexico:d:distincao:start|distinção]] e [[lexico:e:enumeracao:start|enumeração]] das letras do [[lexico:a:alfabeto:start|alfabeto]]), e por isso sempre se encontra onde há ordem e [[lexico:i:inteligencia:start|inteligência]] (Fil., 18 a ss.). Por [[lexico:o:outro:start|outro]] lado, o número neste [[lexico:s:sentido:start|sentido]] não está ligado a algo de visível ou de [[lexico:t:tangivel:start|tangível]]: é, portanto, diferente do número utilizado pelo [[lexico:h:homem:start|homem]] em suas tarefas práticas (Rep., 525 d). Essa tese (que não é a dos platônicos de [[lexico:t:tendencia:start|tendência]] pitagórica, que consideravam as [[lexico:i:ideias:start|ideias]] como número; cf. Aristóteles, Met., XIV, 3) é substancialmente apoiada por Aristóteles: "As entidades matemáticas não são mais [[lexico:s:substancias:start|substâncias]] que os corpos; precedem na [[lexico:l:logica:start|lógica]], mas não na [[lexico:e:existencia:start|existência]], as coisas sensíveis, e não podem [[lexico:e:existir:start|existir]] separadamente. Mas, desde que não podem sequer residir nas coisas sensíveis, não devem existir de [[lexico:m:modo:start|modo]] [[lexico:a:absoluto:start|absoluto]], ou devem existir de algum modo especial, que não é a existência absoluta" (Met., XIII, 3, 1077 b 12). Este modo de existência especial, [[lexico:p:proprio:start|próprio]] das entidades matemáticas, é definido pelas próprias proposições matemáticas: "É estritamente [[lexico:v:verdadeiro:start|verdadeiro]]" — diz Aristóteles — "que existem entidades matemáticas e que elas são tais quais a matemática diz que são" (Ibid., XIII, 3, 1077 b 31). Aristóteles pretende dizer que as entidades matemáticas têm uma existência análoga às entidades da [[lexico:f:fisica:start|física]] (p. ex., ao [[lexico:m:movimento:start|movimento]]): são abstraídas das [[lexico:c:causas:start|causas]] sensíveis, mas não são separáveis destas. Desse [[lexico:p:ponto:start|ponto]] de vista, o número é "uma [[lexico:p:pluralidade:start|pluralidade]] [[lexico:m:medida:start|medida]] ou uma pluralidade de medida", e a unidade não é um número, mas medida do número (Met., XIV, 1, 1088 a 5): definição que repete a de Platão e antecipa a de Euclides, já lembrada.

2) A segunda fase conceptual da [[lexico:n:nocao:start|noção]] de número pode começar com [[lexico:d:descartes:start|Descartes]]: "O número que consideramos em [[lexico:g:geral:start|geral]], sem refletirmos sobre [[lexico:c:coisa:start|coisa]] alguma criada, não existe fora de nosso [[lexico:p:pensamento:start|pensamento]], assim como não existem todas as outras ideias gerais que os escolásticos incluem sob o [[lexico:n:nome:start|nome]] de [[lexico:u:universais:start|universais]]" (Princ. phil, I, 58). Em outras [[lexico:p:palavras:start|palavras]], o número é uma [[lexico:i:ideia:start|ideia]], um [[lexico:a:ato:start|ato]] ou uma [[lexico:m:manifestacao:start|manifestação]] do pensamento. A definição daí resultante é a de [[lexico:o:operacao:start|operação]].- o número é uma operação de [[lexico:a:abstracao:start|abstração]] executada sobre coisas sensíveis. [[lexico:e:esse:start|esse]] conceito é repetido muitas vezes na [[lexico:f:filosofia-moderna:start|filosofia moderna]]. [[lexico:h:hobbes:start|Hobbes]] pôs o número entre as coisas "não existentes", que são apenas "ideias ou imagens" (De corp., VII, § 1). [[lexico:l:locke:start|Locke]] vê no número uma ideia complexa, mais precisamente um "modo [[lexico:s:simples:start|simples]] obtido através da [[lexico:r:repeticao:start|repetição]] da unidade" (Ensaio, II, 16, 2); no mesmo sentido, [[lexico:l:leibniz:start|Leibniz]] diz que o número é uma ideia adequada ou completa, ou seja, "uma ideia tão distinta que todos seus ingredientes são distintos" (Nouv. ess., II, 31,1). [[lexico:b:berkeley:start|Berkeley]] afirma que o número "é inteiramente criatura do [[lexico:e:espirito:start|espírito]]" (Princ. of Human Knowledge, I, 12). Newton afirma que por número é preciso entender "não tanto a multidão das unidades quanto a [[lexico:r:relacao:start|relação]] entre a [[lexico:q:quantidade:start|quantidade]] abstrata de uma [[lexico:q:qualidade:start|qualidade]] e uma quantidade do mesmo [[lexico:g:genero:start|gênero]] que se assume como unidade" (Arithmetica universalis, cap. 2). Definição análoga é a de [[lexico:w:wolff:start|Wolff]], para [[lexico:q:quem:start|quem]] "o número geralmente tem com a unidade a mesma relação que uma reta qualquer pode [[lexico:t:ter:start|ter]] com uma reta dada" (Ont., § 406). Esta definição, como a de Newton, faz do número a operação com que se estabelece uma relação de medida.

[[lexico:k:kant:start|Kant]] só fazia expressar o mesmo conceito geral ao afirmar que o número é um [[lexico:e:esquema:start|esquema]] , mais precisamente que ele é "a [[lexico:r:representacao:start|representação]] que compreende a sucessiva adição de um a um (homogêneos)" (Crít. R. Pura, Anal. dos princ, cap. 1). A novidade do conceito kantiano é que o número não é uma operação empírica, efetuada em material [[lexico:s:sensivel:start|sensível]], mas uma operação puramente intelectual, que atua sobre a multiplicidade dada pela [[lexico:i:intuicao:start|intuição]] pura (do tempo), que é absolutamente homogênea. Isto faz do número algo [[lexico:i:independente:start|independente]] da [[lexico:e:experiencia:start|experiência]], dotado de um gênero de [[lexico:v:validade:start|validade]] que não é o [[lexico:e:empirico:start|empírico]]; mas o número continua sendo uma operação do [[lexico:s:sujeito:start|sujeito]]. Enquanto esta concepção kantiana era representada várias vezes na [[lexico:f:filosofia:start|Filosofia]] do séc. XIX, [[lexico:s:stuart-mill:start|Stuart Mill]] voltava ao conceito do número como operação empírica de abstração: "Todos os número devem ser número de algo: não há número em [[lexico:a:abstrato:start|abstrato]]". Portanto, os número são produtos de uma "[[lexico:i:inducao:start|indução]] [[lexico:r:real:start|real]], de uma [[lexico:i:inferencia:start|inferência]] real de fatos a fatos", e tal indução só é ocultada pela sua [[lexico:n:natureza:start|natureza]] abrangente e pela [[lexico:c:consequente:start|consequente]] generalidade de [[lexico:l:linguagem:start|linguagem]] em que desemboca (Logic, II, 6, 2). De certo modo, as posições de Kant e de Stuart [[lexico:m:mill:start|Mill]] são típicas dessa fase subjetiva do conceito de número: o número é uma operação intelectual pura para Kant, é uma [[lexico:g:generalizacao:start|generalização]] empírica para Stuart Mill, mas em ambos os casos pertence à [[lexico:e:esfera:start|esfera]] da [[lexico:s:subjetividade:start|subjetividade]]. Pertencem a essa concepção do número as doutrinas de Cantor e de Dedekind. Para Cantor, o [[lexico:f:fundamento:start|fundamento]] do número é a [[lexico:f:faculdade:start|faculdade]] que o pensamento tem de agrupar os objetos e de abstrair da natureza e da ordem deles (o que dá lugar ao número cardinal) ou apenas da natureza deles (o que dá lugar ao número ordinal). Dedekind, por sua vez, fundou o conceito de número na operação de emparelhar ou acoplar as coisas. Conquanto matematicamente profícuas, essas noções mantêm o conceito de número no âmbito da subjetividade.

3) A terceira fase conceptual da noção de número (a de número [[lexico:o:objetivo:start|objetivo]], mas não real) foi iniciada pela [[lexico:o:obra:start|obra]] de Frege Fundamentos da [[lexico:a:aritmetica:start|aritmética]] (1884). Frege atribuía [[lexico:c:carater:start|caráter]] conceptual ao número, mas também [[lexico:o:objetividade:start|objetividade]]. Isto, em primeiro lugar, exclui que o número seja uma operação ou uma realidade psicológica, uma ideia no sentido setecentista do [[lexico:t:termo:start|termo]]: "O número não constitui um [[lexico:o:objeto:start|objeto]] da [[lexico:p:psicologia:start|psicologia]] nem pode ser considerado resultado de processos psíquicos, assim como não se pode considerar desse modo o Mar do Norte. Faço uma distinção nítida entre [[lexico:o:o-que-e:start|o que é]] objetivo e o que é palpável, real e ocupa [[lexico:e:espaco:start|espaço]]. P. ex., o eixo terrestre e o bari-centro do sistema solar são objetivos, mas [[lexico:e:eu:start|eu]] não diria que são reais como o é a [[lexico:t:terra:start|Terra]]" (Die Grundlagen der Arithmetik, § 26; trad. it., pp. 70-71). A matemática já havia estabelecido a insuficiência da definição de número como coleção de unidade, por isso levaria a excluir 0 e 1 como número (Aristóteles reconhecia esse [[lexico:f:fato:start|fato]] no que diz [[lexico:r:respeito:start|respeito]] ao 1; Met., XIV, 1, 1088 a 5). Frege assume como base da definição de número a [[lexico:e:extensao:start|extensão]]  do conceito e diz que "o conceito F tão numeroso quanto o conceito G sempre que existe a [[lexico:p:possibilidade:start|possibilidade]] de [[lexico:p:por:start|pôr]] em [[lexico:c:correspondencia:start|correspondência]] biunívoca os objetos pertinentes a G os pertinentes a F". Em vista disso, dá a seguinte definição de número: "O número [[lexico:n:natural:start|natural]] que cabe ao conceito .Fnada mais é que a extensão aFdo conceito ‘tão numeroso quanto’" (Ibid., § 68, p. 134). Esta definição de Frege foi expressa por [[lexico:r:russell:start|Russell]] em termos de classes, e não de [[lexico:c:conceitos:start|conceitos]]. Russell diz: "Quando se tem uma relação termo a termo entre todos os termos de um conjunto e todos os termos de outro, dizemos que os dois conjuntos são semelhantes. Podemos [[lexico:v:ver:start|ver]] então que dois conjuntos semelhantes têm o mesmo número de termos, e definirmos o número de um conjunto [[lexico:d:dado:start|dado]] como a [[lexico:c:classe:start|classe]] de todos os conjuntos semelhantes a ele. Resulta a seguinte definição [[lexico:f:formal:start|formal]]: ‘o número dos termos de uma classe dada define-se como a classe de todas as classes semelhantes à classe dada’" (Our Knowledge of the External World, 3a ed., 1926, cap. 7; trad. fr., p. 163). A definição de Russell, que serviu de base para Principles of Mathematics (1905) e [[lexico:p:principia-mathematica:start|Principia Mathematica]], que ele publicou em 1910 em colaboração com Whitehead (as duas obras fundamentais da [[lexico:l:logica-matematica:start|lógica matemática]] contemporânea), teve grande aceitação na filosofia e na matemática contemporâneas. Contudo, algumas vezes pareceu restrita demais para as possibilidades de [[lexico:d:desenvolvimento:start|desenvolvimento]] da matemática hodierna, que não pretende ficar ligada a um conceito de número que lhe seja de algum modo preestabelecido.

4) A quarta fase foi-se configurando em estreita conexão com a [[lexico:a:axiomatica:start|axiomática]] [[lexico:m:moderna:start|moderna]], e pode ser associada com os nomes de Peano, Hilbert, Zermelo, Dingler. Para esta, o número é um [[lexico:s:signo:start|signo]], definido por um sistema [[lexico:a:adequado:start|adequado]] de axiomas. Dingler diz: "Construímos uma [[lexico:s:serie:start|série]] de signos (sinais gráficos) passíveis de [[lexico:r:reproducao:start|reprodução]], que deve possuir as seguintes propriedades: a) a série tem um primeiro termo; b) a série possui uma [[lexico:r:regra:start|regra]] de construção enunciável de modo [[lexico:f:finito:start|finito]] tal que: A) está sempre determinado univocamente qual termo da série vem imediatamente à direita de um termo já assinalado; B) cada termo da série é diferente de todos os termos que o precedem à esquerda" (Die Methode der Physik, 1937, cap. 11, 3, § 2; trad. it., pp. 137-38). Este ponto de vista pode ser resumido do seguinte modo:

a) não existe um objeto ou [[lexico:e:entidade:start|entidade]] única chamada "número", cujas especificações sejam os número definidos nos diversos sistemas numéricos;

b) a validade dos diversos sistemas numéricos depende apenas da [[lexico:c:coerencia:start|coerência]] intrínseca de cada sistema, definida pelos axiomas fundamentais;

c) o conceito de número presente em um sistema numérico não está ligado a uma [[lexico:i:interpretacao:start|interpretação]] determinada, mas é susceptível de interpretações indefinidamente variáveis. Em outros termos o número não está imune a interpretações (como um [[lexico:s:sinal:start|sinal]] que [[lexico:n:nada:start|nada]] signifique) e não está ligado a uma interpretação única, privilegiada, mas caracteriza-se pela possibilidade de interpretações diferentes.

É esta a noção do número que costuma ser pressuposta nos mais recentes estudos de matemática.

A concepção [[lexico:e:escolastica:start|escolástica]] do número tem seu ponto de partida na definição de Aristóteles: O número é uma pluralidade medida (ou medível) pela unidade ([[lexico:m:metafisica:start|Metafísica]], X, 6; 1.057 a 3). O conceito designa, pois em primeiro lugar, uma pluralidade, ou seja, unidades que entre si se distinguem; e, em segundo lugar, que esta pluralidade, como unidade repetida, é reunida mentalmente para constituir uma nova unidade; a definição não é aplicável ao número "um". O fundamento [[lexico:o:ontologico:start|ontológico]] do número é constituído pela pluralidade de coisas numeráveis; no número abstrato não importa a peculiaridade especial destas coisas, só interessa que são entes e unidades. O número, enquanto tal, resulta só da [[lexico:u:uniao:start|união]] mental de muitas unidades, por isso não é um [[lexico:e:ente:start|ente]] real, mas só um [[lexico:e:ente-de-razao:start|ente de razão]]. Distinguem-se o número [[lexico:t:transcendental:start|transcendental]], formado pelos conceitos [[lexico:t:transcendentais:start|transcendentais]] de unidade e pluralidade (que importa distinguir do conceito [[lexico:t:transcendente:start|transcendente]], ou seja, do que não pode exprimir-se por uma [[lexico:e:equacao:start|equação]] algébrica com coeficientes racionais), e o número predicamental, cuja noção se obtém a partir da unidade quantitativa, do [[lexico:c:continuo:start|contínuo]] divisível até ao [[lexico:i:infinito:start|infinito]] ( quantidade ); só a quantidade oferece a base [[lexico:o:ontologica:start|ontológica]] de todos os números, mesmo dos fracionários. S. [[lexico:t:tomas-de-aquino:start|Tomás de Aquino]] reserva o nome de número para o predicamental, ao passo que caracteriza o número transcendental geralmente só como pluralidade.

Também na matemática moderna se entende, acima de tudo, por números os números naturais (1, 2, 3 . . .). Peano deu-lhes uma base aritmeticamente suficiente que todavia não tem a pretensão de ser também uma fundamentação filosófica. Partindo dos cinco axiomas formulados por Peano (ou também de outras axiomas), convenientemente escolhidos, estabelecem-se funções uniformes de tal maneira que S (x, y), P (x, y), x / y equivalem às ordinárias x+y, xy, x>y. Com x/y designa-se uma relação de duas partes unimembres entre x e y, caracterizada aqui pelo fato de ser invertível só quando x e y são iguais (portanto só se verifica x/y, y/x quando x = y), como também pelo fato de a relação ser transitiva, ou seja, se x/y, y/z, então sempre se verifica x/z. Esta relação de ordem x/y permite colocar numa [[lexico:s:sucessao:start|sucessão]] ou [[lexico:s:sequencia:start|sequência]] os números naturais.

Mais chegada à filosofia está a fundamentação dos números baseada na [[lexico:t:teoria:start|teoria]] de conjuntos. Por uma adequada coordenação dos elementos dos conjuntos (classes lógicas) a, b entre si, nasce uma nova relação, das do [[lexico:t:tipo:start|tipo]] "[[lexico:e:equivalencia:start|equivalência]]", a qual dá [[lexico:o:origem:start|origem]] a uma [[lexico:d:distribuicao:start|distribuição]] dos conjuntos em classes (Hasse). Cada classe chama-se "número" (Frege, Russell). Contar um conjunto quer dizer determinar a que classe pertence. Se os conjuntos (finitos ou, com certa reserva, também infinitos) a, b, que não possuem nenhum elemento comum, pertencem às classes A, B, o [[lexico:e:enunciado:start|enunciado]] "ou em a ou em b" determina novamente um conjunto, tal como s, cuja classe B, por depender só das classes A, B, pode chamar-se S (A, B). (Admitamos que quatro ovos e cinco ovos sejam tais conjuntos, pertencentes às classes 4 e 5 e sem nenhum elemento comum. Há também, então, outro conjunto, cuja classe depende unicamente das classes 4 e 5 e cujos membros se repartem nos conjuntos quatro ovos de tal [[lexico:s:sorte:start|sorte]] que se encontram todos no conjunto de quatro ou no de cinco ovos. Esta classe, a classe-soma de 4 e 5, chama-se 9). Outros procedimentos da teoria dos conjuntos dão origem a uma segunda [[lexico:f:funcao:start|função]] de classe P (A, B) e a uma relação de ordem A/B, de maneira que, S (A, B), P (A, B) e a relação de ordem A/B equivalem de novo às ordinárias A+B, AB, A>B (Kamke). Com 7+5 = 12, o 12 não é decomposto nem produzido, mas sim caracterizado como o "relatum" — [[lexico:s:soma:start|soma]] de 7 e 5.

Na "introdução" dos números artificiais (o 0, os negativos, os racionais, os reais-irracionais, os complexos, etc.) encontram-se círculos viciosos, em [[lexico:c:consequencia:start|consequência]] de aplicações, ficções, analogias geométricas e aproximações ao que preliminarmente se deve definir. Estes números nascem, antes, de números naturais ou de números já produzidos, tratados com os recursos unificados, também filosoficamente importantes, da [[lexico:a:algebra:start|álgebra]] moderna (Hasse, van der Waerden). Os números 2,+2, 2:1, 2+0i não são idênticos; correspondem-se isomorficamente numa adequada sintonização de domínios numéricos antigos e de novos campos parciais (Hasse). As [[lexico:r:relacoes:start|relações]] de ordem logicamente possíveis devem ser estabelecidas sempre em. [[lexico:f:forma:start|forma]] própria e peculiar e transferidas a outros números por uma coordenação apropriada entre domínios antigos e campos parciais novos. As relações de [[lexico:c:calculo:start|cálculo]] e de sucessão entre números naturais e números artificiais correm frequentemente paralelas a outras semelhantes existentes entre grandezas físicas; este é o objeto de [[lexico:p:pesquisa:start|pesquisa]] da teoria da medição. — Para cada classe de número Landau dá uma construção completa. Todavia, há outras questões filosoficamente dignas de [[lexico:a:atencao:start|atenção]], p. ex., a construção teórico-ideal dos números reais (van der Waerden). —[[lexico:f:filosofia-da-matematica:start|filosofia da matemática]]. — Steele.

{{indexmenu>.#1|skipns=/^playground|^wiki/ nsonly}}