===== GEOMETRIA =====
(gr. geometria; lat. Geometria; in. Geometry; fr. Géométrie; al. Geometrie; it. Geometria).

Em [[lexico:g:geral:start|geral]], a [[lexico:c:ciencia:start|ciência]] que estuda as possibilidades métricas dos conjuntos. A [[lexico:e:estrutura:start|estrutura]] métrica dos conjuntos pode [[lexico:s:ser:start|ser]] considerada: 1) única e necessária, como foi considerada até a [[lexico:d:descoberta:start|descoberta]] das geometrias não-euclidianas: nesse caso, a geometria será a [[lexico:d:descricao:start|descrição]] das determinações necessárias de tal estrutura (o [[lexico:e:espaco:start|espaço]] euclidiano) e assumirá a [[lexico:f:forma:start|forma]] de um [[lexico:s:sistema-dedutivo:start|sistema dedutivo]] [[lexico:u:unico:start|único]] e [[lexico:p:perfeito:start|perfeito]]; 2) multíplice ou indefinidamente variável: nesse caso serão possíveis geometria diferentes, cujo [[lexico:o:objeto:start|objeto]] serão estruturas métricas espaciais diferentes ou dotadas de graus diferentes de generalidade. A primeira forma da geometria iniciou-se com [[lexico:p:pitagoras:start|Pitágoras]] e com [[lexico:p:platao:start|Platão]], tornando-se [[lexico:m:modelo:start|modelo]] das ciências dedutivas. A segunda iniciou-se com a descoberta das geometria não-euclidianas e sua [[lexico:e:expressao:start|expressão]] mais clara foi o "programa de Erlangen".

1) Segundo [[lexico:r:relato:start|relato]] de [[lexico:p:proclo:start|Proclo]] (In Eucl., 65, 11, Friedlein), foi Pitágoras [[lexico:q:quem:start|quem]] "deu forma de [[lexico:e:educacao:start|educação]] liberal ao [[lexico:e:estudo:start|estudo]] da geometria, procurando seus [[lexico:p:principios:start|princípios]] primeiros e investigando seus teoremas do [[lexico:p:ponto:start|ponto]] de vista conceptual e [[lexico:t:teorico:start|teórico]]". Mas sabemos que é sobretudo a Platão que se deve a guinada conceptual e teórica da geometria. Platão contrapõe explicitamente ao [[lexico:u:uso:start|uso]] [[lexico:p:pratico:start|prático]] da geometria, ou seja, ao uso que a subordina às necessidades cotidianas e portanto às exigências de construtores, estrategistas, etc, seu [[lexico:f:fim:start|fim]] [[lexico:t:teoretico:start|teorético]], em [[lexico:v:virtude:start|virtude]] do qual ela tende a conhecer "aquilo que sempre é e [[lexico:n:nao:start|não]] o que nasce e perece" (Rep., VII, 527b). Como todas as outras ciências propedêuticas, pertencentes à [[lexico:e:esfera:start|esfera]] do [[lexico:c:conhecimento:start|conhecimento]] [[lexico:r:racional:start|racional]] ou [[lexico:d:dianoia:start|dianoia]], a geometria vale-se de "[[lexico:h:hipoteses:start|hipóteses]]" que sabe justificar; tudo o que ela faz é entrelaçar coerentemente "conclusões e proposições intermediárias" (Ibid., VII, 533c). [[lexico:a:aristoteles:start|Aristóteles]] também insistiu no procedimento abstrativo utilizado pela geometria. Disse: "O matemático constrói sua [[lexico:t:teoria:start|teoria]] eliminando todos os [[lexico:c:caracteres:start|caracteres]] sensíveis, como o [[lexico:p:peso:start|peso]] e a leveza, a dureza e seu contrário, o calor e o frio, [[lexico:b:bem:start|Bem]] como os outros contrários sensíveis, e fica apenas com a [[lexico:q:quantidade:start|quantidade]] e a continuidade, às vezes em uma só [[lexico:d:dimensao:start|dimensão]], às vezes em duas, outras em três, bem como com os atributos dessas entidades que sejam quantitativos e contínuos; e não os considera sob nenhum [[lexico:o:outro:start|outro]] [[lexico:a:aspecto:start|aspecto]]" (Met., XI, 1061 a 29). Mas foi também graças a Aristóteles que a geometria ganhou organização [[lexico:l:logica:start|lógica]]; de [[lexico:f:fato:start|fato]], essa organização, que se realizou plenamente nos [[lexico:e:elementos:start|elementos]] de [[lexico:e:euclides:start|Euclides]], no séc. III a.C., tem como modelo a [[lexico:o:ordem:start|ordem]] que, no [[lexico:o:organon:start|Organon]], Aristóteles considerara própria de toda ciência, qual seja: o ponto de partida são os [[lexico:p:primeiros-principios:start|primeiros princípios]] (definições, axiomas e postulados), passando-se à [[lexico:d:deducao:start|dedução]] rigorosa a partir desses princípios, sem recorrer à [[lexico:e:experiencia:start|experiência]] ou a qualquer [[lexico:i:intuicao:start|intuição]]. Mas essa mesma formulação lógica da geometria antiga esclarece a [[lexico:n:natureza:start|natureza]] de seu objeto. Como dizia Aristóteles, [[lexico:e:esse:start|esse]] objeto é a quantidade contínua; e como dissera Platão, é "[[lexico:a:alguma-coisa:start|alguma coisa]] que é sempre", ou, na [[lexico:t:terminologia:start|terminologia]] de Aristóteles, é uma [[lexico:s:substancia:start|substância]] ou [[lexico:e:essencia:start|essência]] [[lexico:s:substancial:start|substancial]] que, justamente por ser tal, pode ser definida, e cujas propriedades fundamentais o [[lexico:i:intelecto:start|intelecto]] pode intuir, expressando-as nos axiomas. É preciso lembrar que, segundo Aristóteles, o procedimento dedutivo ou silogístico deve partir de premissas evidentes, intuídas pelo intelecto, e que essa intuição só pode [[lexico:e:existir:start|existir]] com [[lexico:r:relacao:start|relação]] a propriedades ou a determinações necessárias da substância. O [[lexico:c:carater:start|caráter]] substancial do objeto da geometria, no [[lexico:s:sentido:start|sentido]] [[lexico:e:exato:start|exato]] e técnico que a [[lexico:p:palavra:start|palavra]] "substancial" tem em Aristóteles, é o [[lexico:p:pressuposto:start|pressuposto]] fundamental dessa fase conceptual da geometria. Isto quer dizer que o [[lexico:c:continuo:start|contínuo]] espacial, que é o objeto da geometria, é pressuposto, em seu [[lexico:m:modo:start|modo]] de [[lexico:e:existencia:start|existência]] específica e em suas determinações necessárias, a partir das operações geométricas que a tomam como objeto. Esse contínuo é [[lexico:i:independente:start|independente]] de tais operações porque é uma substância, porque é necessariamente [[lexico:o:o-que-e:start|o que é]] e não pode ser diferente. A [[lexico:n:necessidade:start|necessidade]] intrínseca das definições e dos axiomas e o caráter indispensável dos postulados (que tampouco podem ser mudados) expressam, no âmbito desta fase conceptual, a necessidade do objeto da geometria, ou seja, do espaço. Este tem essência necessária, cujos princípios expressam as determinações imutáveis e cuja dedução [[lexico:s:silogistica:start|silogística]] põe em [[lexico:e:evidencia:start|evidência]] as determinações implícitas (mas igualmente necessárias). A [[lexico:i:interpretacao:start|interpretação]] do espaço feita por [[lexico:k:kant:start|Kant]], como "forma da intuição" ou "intuição pura", não constitui (e nem Kant teve essa [[lexico:i:intencao:start|intenção]]) uma inovação do [[lexico:c:conceito:start|conceito]] de geometria. Segundo Kant, o espaço como intuição pura devia exatamente servir para garantir à geometria seu papel de ciência que determina as propriedades do espaço apriori, ou seja, independentemente da experiência, e para garantir a tais propriedades seu caráter apoditico, ou seja, sua necessidade (Crít. R. Pura, § 3).

2) A segunda fase conceptual da geometria só começou quando se realizou plenamente o [[lexico:s:significado:start|significado]] da descoberta das geometria não-euclidianas. O V [[lexico:p:postulado:start|postulado]] de Euclides provocara discussões desde a [[lexico:a:antiguidade:start|antiguidade]]. No séc. XVIII, especialmente graças a Saccheri e de Lambert, e nos primeiros decênios do séc. XIX, graças a Legendre, essas discussões se acirraram, mas não levaram a conclusões, porque se achou [[lexico:a:absurdo:start|absurdo]] admitir a [[lexico:p:possibilidade:start|possibilidade]] de uma geometria diferente da de Euclides. Só Gauss, Lobacevskij e Bolyai reconheceram e puseram em prática essa possibilidade. Em 1855, uma dissertação de Riemann, Sobre as hipóteses que fundamentam a geometria, mostrava como, com mudanças oportunas no V postulado, seria [[lexico:p:possivel:start|possível]] obter não só a geometria de Euclides e a geometria de Lobacevskij e Bolyai, mas também uma terceira geometria (que mais [[lexico:t:tarde:start|Tarde]] foi chamada de Riemann). O V postulado de Euclides exige que só haja uma paralela para uma reta dada; a geometria de Lobacevskij e Bolyai exige que haja infinitas paralelas para uma reta dada. Riemann supôs que não houvesse paralela nenhuma para uma reta dada, o que produz uma geometria simetricamente oposta à de Lobacevskij e de Bolyai. A geometria euclidiana é válida para o espaço de curvatura constante nula. A geometria de Lobacevskij vale para o espaço de curvatura constante negativa. A geometria de Riemann vale para o espaço de curvatura constante positiva. Nesta última geometria, uma reta não pode ser prolongada até o [[lexico:i:infinito:start|infinito]], mas é finita e fechada, e é a geometria que vigora na superfície da esfera (supondo-se que se considerem somente duas dimensões), portanto o modo mais [[lexico:n:natural:start|natural]] de um navegador descrever o [[lexico:m:mundo:start|mundo]]. Assim, a geometria euclidiana tornava-se um caso [[lexico:p:particular:start|particular]] de uma geometria bem mais ampla e geral, mas a verdadeira [[lexico:s:significacao:start|significação]] dessa descoberta só ficou clara alguns anos depois, em virtude do emprego de um conceito que fora utilizado desde o início pela chamada geometria projetiva. o conceito de [[lexico:t:transformacao:start|transformação]]. A geometria projetiva, cujas primeiras menções se encontram nos trabalhos de Gaspard Monge (1746-1818), introduzia uma nova [[lexico:o:operacao:start|operação]] — a [[lexico:p:projecao:start|projeção]] —, que permite transformar uma [[lexico:f:figura:start|figura]] em outra, cujas propriedades podem ser deduzidas das propriedades da primeira. O caráter peculiar dessas propriedades, como foi mostrado por Poncelet (Tratado das propriedades projetivas das figuras, 1822), consistia em sua invariância, ou seja, em permanecerem as mesmas ao longo das transformações que as figuras sofriam com a projeção. Em 1847, a geometria de [[lexico:p:posicao:start|posição]] de Staudt, realizando uma [[lexico:e:exposicao:start|exposição]] rigorosa da geometria descritiva, mostrava que ela podia absorver em si toda a ciência geométrica. Nessa mesma linha, o passo decisivo foi [[lexico:d:dado:start|dado]] por Felice Klein com seu programa de Erlangen, que constituiu a aula inaugural dada nessa Universidade em 1872. Segundo Klein, a geometria [[lexico:n:nada:start|nada]] mais é que o estudo das propriedades invariáveis em relação a um [[lexico:g:grupo:start|grupo]] de transformações, entendendo por grupo de transformações um conjunto de transformações em que, ao lado de cada transformação também está a transformação inversa (a que destrói o [[lexico:e:efeito:start|efeito]] da primeira). Desse ponto de vista, as propriedades a serem consideradas "geométricas" dependem do grupo de operações considerado fundamental. Quando este [[lexico:u:ultimo:start|último]] varia, também varia o significado do [[lexico:t:termo:start|termo]] geometria. Cayley demonstrou que o grupo fundamental da geometria projetiva é mais amplo do que o das geometria métricas. Outra ampliação realiza-se quando se passa da geometria descritiva à [[lexico:t:topologia:start|topologia]] (ou [[lexico:a:analysis-situs:start|analysis situs]]), que estuda as propriedades invariantes em relação ao grupo generalíssimo das transformações contínuas.

É fácil, portanto, perceber a [[lexico:d:diferenca:start|diferença]] de postura conceptual da geometria contemporânea em relação à clássica. Ao contrário desta última, a geometria contemporânea não pressupõe o objeto de seu estudo (o espaço), ou seja, não pressupõe que tal objeto tenha propriedades necessárias, expressáveis em definições unívocas, em axiomas evidentes e em postulados inevitáveis. São consideradas objeto da geometria as propriedades que se mostrem invariantes por [[lexico:m:meio:start|meio]] dos grupos de transformações, mas ao mesmo [[lexico:t:tempo:start|tempo]] procuram-se realizar tipos de transformações sempre diferentes e considerar, portanto, invariâncias cada vez mais gerais. A estrutura lógica dessa geometria obviamente nada mais tem a [[lexico:v:ver:start|ver]] com a [[lexico:l:logica-aristotelica:start|lógica aristotélica]] e com a estrutura da geometria euclidiana. Poincaré descreveu essa estrutura como de sistemas hipotético-dedutivos (v. [[lexico:c:convencionalismo:start|convencionalismo]]). Ao mesmo tempo em que a forma lógica de tais sistemas é extremamente rigorosa e evita recorrer a elementos ou a operações intuitivas, essa geometria perdeu o caráter de necessidade racional que caracterizava a geometria clássica: seu objeto não é uma substância racional, mas as invariâncias que podem ser obtidas por meio de operações oportunas livremente escolhidas.

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