===== AXIOMA =====
(gr. axioma; lat. axioma; in. Axiom; fr. Axiome; al. Axiom; it. Assioma).

Originariamente, essa [[lexico:p:palavra:start|palavra]] significava [[lexico:d:dignidade:start|dignidade]] ou [[lexico:v:valor:start|valor]] (os escolásticos e [[lexico:v:vico:start|Vico]] usavam-na por dignidade) e foi empregada pelos estoicos para indicar o [[lexico:e:enunciado:start|enunciado]] declarativo que [[lexico:a:aristoteles:start|Aristóteles]] chamava de [[lexico:a:apofantico:start|apofântico]] (Dióg. L., VII, 65). Os matemáticos usaram-na para designar os [[lexico:p:principios:start|princípios]] indemonstrávéis, mas evidentes, da sua [[lexico:c:ciencia:start|ciência]]. Aristóteles fez a primeira [[lexico:a:analise:start|análise]] dessa [[lexico:n:nocao:start|noção]], entendendo por axioma "as proposições primeiras de que [[lexico:p:parte:start|parte]] a [[lexico:d:demonstracao:start|demonstração]]" (os chamados axiomas comuns) e, em cada caso, os "princípios que devem [[lexico:s:ser:start|ser]] necessariamente possuídos por [[lexico:q:quem:start|quem]] queira aprender qualquer [[lexico:c:coisa:start|coisa]]" (An. post., I, 10, 76 b 14; I, 2, 72 a 15). Como tal, o axioma é completamente diferente da [[lexico:h:hipotese:start|hipótese]] e do [[lexico:p:postulado:start|postulado]]. O [[lexico:p:principio-de-contradicao:start|princípio de contradição]] é, ele [[lexico:p:proprio:start|próprio]], um axioma, aliás, "o [[lexico:p:principio:start|princípio]] de todos os axiomas" (Met., IV, 3, 1.105 a 20 ss.). [[lexico:e:esse:start|esse]] [[lexico:s:significado:start|significado]] da palavra como princípio que se mostra evidente de [[lexico:i:imediato:start|imediato]], pelos seus próprios termos, manteve-se constante por toda a [[lexico:a:antiguidade:start|antiguidade]] e a Idade [[lexico:m:moderna:start|moderna]]. "Os princípios imediatos", diz [[lexico:t:tomas-de-aquino:start|Tomás de Aquino]] (In I Post., Lição 5), "[[lexico:n:nao:start|não]] são conhecidos mediante algum [[lexico:t:termo:start|termo]] intermediário, mas por [[lexico:m:meio:start|meio]] do [[lexico:c:conhecimento:start|conhecimento]] dos seus próprios termos. [[lexico:d:dado:start|dado]] que se saiba [[lexico:o:o-que-e:start|o que é]] o [[lexico:t:todo:start|todo]] e o que é a parte, reconhece-se que ‘o todo é maior do que a parte’, já que, em todas as proposições dessa [[lexico:e:especie:start|espécie]], o [[lexico:p:predicado:start|predicado]] está compreendido na noção de [[lexico:s:sujeito:start|sujeito]]". A [[lexico:v:verdade:start|verdade]] do axioma é, em outros termos, manifestada pela [[lexico:s:simples:start|simples]] [[lexico:i:intuicao:start|intuição]] dos termos que entram na sua composição. Na verdade, o [[lexico:e:exemplo:start|exemplo]] escolhido por Tomás de Aquino presta-se sobretudo a revelar o [[lexico:c:carater:start|caráter]] fictício da [[lexico:e:evidencia:start|evidência]] [[lexico:i:intuitiva:start|intuitiva]] de que dependeria a [[lexico:v:validade:start|validade]] do axioma. A pouca distância cronológica de Tomás de Aquino, Ockham verificava que o princípio "a parte é maior do que o todo" não vale quando se trata de todos que compreendem infinitas partes e que não se pode dizer que no [[lexico:u:universo:start|universo]] inteiro haja mais partes do que numa fava, se numa fava há infinitas partes (Quodl, I, q. 9; Cent. theol., concl. 17, C). Após as pesquisas de Cantor e de Dedekind, sabemos hoje que esse pretenso axioma é, simplesmente, a [[lexico:d:definicao:start|definição]] dos conjuntos finitos (v. [[lexico:i:infinito:start|infinito]]). Por muitos séculos procurou-se justificar de um [[lexico:m:modo:start|modo]] ou de [[lexico:o:outro:start|outro]] a validade absoluta dos axiomas, mas essa validade não foi posta em [[lexico:d:duvida:start|dúvida]]. [[lexico:b:bacon:start|Bacon]] julgava [[lexico:p:possivel:start|possível]] obter axioma por via de [[lexico:d:deducao:start|dedução]] ou de [[lexico:i:inducao:start|indução]] (Nov. Org., 1,19), ao passo que [[lexico:d:descartes:start|Descartes]] julgava-os [[lexico:v:verdades-eternas:start|verdades eternas]], que residem em nossa [[lexico:m:mente:start|mente]] (Princ. phil., I, 49); ambos, porém, acreditaram que eram verdades imutáveis. [[lexico:l:locke:start|Locke]] considerou os axiomas como proposições, experimentos, experiências imediatas (Ensaio, IV, 7, 3 ss.) e [[lexico:l:leibniz:start|Leibniz]], ao contrário, considerou-os princípios inatos na [[lexico:f:forma:start|forma]] de disposições originárias que a [[lexico:e:experiencia:start|experiência]] torna explícitas (Nouv. ess., I, 1, 5); mas ambos lhes atribuíram o caráter de verdades evidentes. Os empiristas não duvidaram de sua evidência mais do que os racionalistas; [[lexico:s:stuart-mill:start|Stuart Mill]] afirma que eles são "verdades experimentais, generalizações da [[lexico:o:observacao:start|observação]]" (Logic, II, 5, § b). Para [[lexico:k:kant:start|Kant]], os axiomas também são evidentes, mas apriori; define-os como "princípios sintéticos apriori, na [[lexico:m:medida:start|medida]] em que são imediatamente certos". Para Kant, a [[lexico:c:certeza:start|certeza]] imediata, isto é, a evidência, é a [[lexico:c:caracteristica:start|característica]] dos axiomas A [[lexico:m:matematica:start|matemática]] possui axioma porque procede mediante a construção de [[lexico:c:conceitos:start|conceitos]]. A [[lexico:f:filosofia:start|Filosofia]], porém, que não constrói seus conceitos, não possui axioma Os próprios axiomas da intuição, que Kant pôs entre os princípios do [[lexico:i:intelecto:start|intelecto]] [[lexico:p:puro:start|puro]], não são realmente axioma segundo o próprio Kant, mas simplesmente contêm "o princípio da [[lexico:p:possibilidade:start|possibilidade]] dos axiomas em [[lexico:g:geral:start|geral]]" (Crít. R. Pura, Doutrina transc. do mét., [[lexico:d:disciplina:start|disciplina]] da [[lexico:r:razao-pura:start|razão pura]], I).

Foi no [[lexico:m:mundo:start|mundo]] contemporâneo que a noção de axioma sofreu a [[lexico:t:transformacao:start|transformação]] mais radical. A característica que o definia, ou seja, a imediação da sua verdade, a certeza, a evidência, foi negada. Esse resultado deve-se ao [[lexico:d:desenvolvimento:start|desenvolvimento]] do [[lexico:f:formalismo:start|formalismo]] matemático e [[lexico:l:logico:start|lógico]], isto é, à [[lexico:o:obra:start|obra]] de Peano, [[lexico:r:russell:start|Russell]], Frege e Hilbert. Segundo o [[lexico:p:ponto:start|ponto]] de vista formalista, que é o mais difundido atualmente, os axiomas da matemática não são nem verdadeiros nem falsos, mas são assumidos por convenção, com base em [[lexico:m:motivos:start|motivos]] de oportunidade, como fundamentos ou premissas do [[lexico:d:discurso:start|discurso]] matemático (Hilbert, "Axiomatischen Denken", em Math. Annalen, 1918). Desse modo, os axiomas não se distinguem mais dos postulados e as duas [[lexico:p:palavras:start|palavras]] são hoje usadas indiferentemente. A [[lexico:e:escolha:start|escolha]] dos axiomas de certo modo é livre e, nesse [[lexico:s:sentido:start|sentido]], diz-se que os axiomas são "convencionais" ou "assumidos por convenção". Mas, na [[lexico:r:realidade:start|realidade]], essa escolha é limitada por exigências ou condições precisas que podem ser resumidas do seguinte modo:

1) Os axiomas devem ser coerentes, sob [[lexico:p:pena:start|pena]] de o [[lexico:s:sistema:start|sistema]] que deles depende tornar-se contraditório. Sistema contraditório é o que permite a dedução de qualquer coisa e a demonstração de qualquer [[lexico:p:proposicao:start|proposição]], [[lexico:b:bem:start|Bem]] como a sua [[lexico:n:negacao:start|negação]]. Como a [[lexico:p:prova:start|prova]] da não-contradição não pode ser obtida dentro de um sistema (v. [[lexico:a:axiomatica:start|axiomática]]), é [[lexico:c:costume:start|costume]] lançar mão do sistema da [[lexico:r:reducao:start|redução]] a uma [[lexico:t:teoria:start|teoria]] anterior, cuja [[lexico:c:coerencia:start|coerência]] pareça bem confirmada, como, p. ex., a [[lexico:a:aritmetica:start|aritmética]] clássica ou a [[lexico:g:geometria:start|geometria]] euclidiana. Esse procedimento sem dúvida não equivale a uma demonstração de não-contradiçào, mas fornece um indício importante. Outro procedimento é a realização, isto é, a [[lexico:r:referencia:start|referência]] do sistema a um [[lexico:m:modelo:start|modelo]] [[lexico:r:real:start|real]], com base no [[lexico:p:pressuposto:start|pressuposto]] de que aquilo que é real deve ser possível, portanto não-contraditório.

2) Um sistema de axiomas deve ser completo no sentido de que, de duas proposições contraditórias formuladas corretamente nos termos do sistema, uma deve poder ser demonstrada. O que significa que, em [[lexico:p:presenca:start|presença]] de uma proposição qualquer do sistema, pode-se sempre demonstrá-la ou refutá-la e, portanto, decidir sobre a sua verdade ou [[lexico:f:falsidade:start|falsidade]] em [[lexico:r:relacao:start|relação]] ao sistema dos postulados. Nesse caso, o sistema chama-se decidível.

3) A terceira característica de um sistema de axioma é a sua independência, isto é, a sua irredutibilidade recíproca. Tal [[lexico:c:condicao:start|condição]] não é tão indispensável como a da coerência, mas é oportuna para evitar que as proposições primitivas sejam excessivamente numerosas.

4) Enfim, o menor [[lexico:n:numero:start|número]] possível e a simplicidade dos axiomas são condições desejáveis que conferem elegância [[lexico:l:logica:start|lógica]] a um sistema de axiomas.

A proposição evidente [[lexico:p:por-si:start|por si]] mesma. — Distingue-se do postulado, que é simplesmente posto sem ser evidente. "Não há mais axioma na matemática moderna" (Legendre) e o valor dos princípios se mede pela [[lexico:r:riqueza:start|riqueza]] das consequências.

Em [[lexico:g:grego:start|grego]] de axios, valor, e axioma, estimativa.

a) Diz-se de cada proposição universalmente válida, que é evidente «ex ipsis terminis intelectis» (pela [[lexico:c:compreensao:start|compreensão]] dos termos, sujeito e predicado: pela ligação intrínseca das respectivas [[lexico:i:ideias:start|ideias]]) e que, portanto, não precisa ou não pode ser provada.

b) Num sentido mais preciso ainda, chamam-se axiomas as proposições que constituem uma [[lexico:r:regra:start|regra]] geral do [[lexico:p:pensamento:start|pensamento]] lógico, em [[lexico:o:oposicao:start|oposição]] aos postulados, que são concernentes a uma [[lexico:m:materia:start|matéria]] especial.

c) Kant deu à palavra axioma um sentido mais estreito ainda, aplicando-a somente àqueles princípios [[lexico:a:a-priori:start|a priori]] do [[lexico:e:entendimento:start|entendimento]] puro, que são apreendidos pela intuição (Axiome der [[lexico:a:anschauung:start|Anschauung]], axiomas da intuição), o que significa que são relativas à [[lexico:c:categoria:start|categoria]] da [[lexico:q:quantidade:start|quantidade]] e limitadas à [[lexico:e:esfera:start|esfera]] do [[lexico:e:espaco:start|espaço]] e do [[lexico:t:tempo:start|tempo]].

d) [[lexico:a:alem:start|Além]] dessas três definições bem estabelecidas, a palavra tem nos mais diferentes autores, em todos os tempos», um emprego muito confuso e às vezes [[lexico:a:arbitrario:start|arbitrário]], que, porém, geralmente, gira em torno dos significados que o [[lexico:u:uso:start|uso]] grego antigo fez da palavra.

Em [[lexico:s:sintese:start|síntese]]:

I) Eram entre os gregos, considerados axiomas as opiniões, ou dogmas de uma [[lexico:e:escola:start|escola]] filosófica.

II) Consideração, estima, dignidade.

III) O que se julga [[lexico:v:verdadeiro:start|verdadeiro]] e [[lexico:b:bom:start|Bom]]: [[lexico:o:opiniao:start|opinião]], doutrina.

IV) Proposição geral, [[lexico:e:enunciacao:start|enunciação]], [[lexico:t:teorema:start|teorema]].

V) Principio admitido como verdadeiro, do qual parte uma demonstração.

VI) Em geral, considerado como uma [[lexico:p:premissa:start|premissa]] evidente, que desnecessita de demonstração. Assim «-;o todo é maior do que qualquer de suas partes» é um axioma.

Originariamente, o termo “axioma” significa dignidade. Por derivação, chamou-se “axioma” a “aquilo que é digno de ser estimado, acreditado ou valorizado”; assim, na sua acepção mais clássica, o axioma equivale ao princípio que, pela sua própria dignidade, isto é, por ocupar certo [[lexico:l:lugar:start|lugar]] num sistema de proposições, se deve considerar como verdadeiro. Para Aristóteles, os axiomas são princípios evidentes que constituem o [[lexico:f:fundamento:start|fundamento]] de qualquer ciência. Nesse caso, os axiomas são proposições irredutíveis, princípios gerais aos quais se reduzem todas as outras proposições e nos quais estas se apoiam necessariamente. O axioma tem, por assim dizer, um [[lexico:i:imperativo:start|imperativo]] que obriga ao [[lexico:a:assentimento:start|assentimento]] uma vez enunciado e entendido. Em [[lexico:s:suma:start|suma]], Aristóteles define o axioma como uma proposição que se impõe imediatamente ao [[lexico:e:espirito:start|espírito]] e que é indispensável, ao contrário da [[lexico:t:tese:start|tese]], que não se pode demonstrar e que não é indispensável. Os axiomas podem chamar-se também [[lexico:n:nocoes-comuns:start|noções comuns]], como os enunciados do [[lexico:t:tipo:start|tipo]] seguinte: “duas [[lexico:c:coisas:start|coisas]] iguais a uma terceira são iguais entre si”, “o todo é maior que a parte”. Por não se conseguir demonstrar esses axiomas houve a [[lexico:t:tendencia:start|tendência]] para cada vez mais, se definirem os axiomas mediante as duas notas já atrás apontadas: indemonstrabilidade e evidência. às proposições que podiam ser demonstradas e não eram evidentes chamou-se teoremas. E as que não podiam ser demonstradas nem eram evidentes por si mesmas receberam o [[lexico:n:nome:start|nome]] de postulados. Esta [[lexico:t:terminologia:start|terminologia]] tradicional sofreu grandes alterações. Com [[lexico:e:efeito:start|efeito]], baseia-se em grande parte numa concepção do axioma como proposição “evidente” e, portanto, está eivada de certo “[[lexico:i:intuicionismo:start|intuicionismo]]” (em sentido [[lexico:p:psicologico:start|psicológico]]), que nem todos os autores admitem. Impôs-se a [[lexico:m:mudanca:start|mudança]] na terminologia a partir do [[lexico:m:momento:start|momento]] em que se rejeitou que os axiomas fossem noções comuns e em que se viu que podem escolher-se diversos postulados, cada um dos quais dá [[lexico:o:origem:start|origem]] a um [[lexico:s:sistema-dedutivo:start|sistema dedutivo]] diferente. Isto produziu um primeiro efeito: atenuar e até abolir completamente a [[lexico:d:distincao:start|distinção]] entre axioma e postulado. Para estas mudanças contribuíram sobretudo a matemática e a metalógica contemporâneas. Estas distinguem entre axiomas e teoremas. Os primeiros são enunciados primitivos (por vezes chamam-se também postulados) aceites como verdadeiros sem provar a sua validade; os segundos são enunciados cuja validade se submete a prova. Axiomas e teoremas são, portanto, [[lexico:e:elementos:start|elementos]] integrantes de qualquer sistema dedutivo. Usualmente, a definição do [[lexico:c:conceito:start|conceito]] de teorema requer o uso do conceito de axioma (bem como o uso dos conceitos de regra de [[lexico:i:inferencia:start|inferência]] e de prova), enquanto o conceito de axioma se define por [[lexico:e:enumeracao:start|enumeração]].

Pode, pois, dizer-se que houve duas correntes diferentes na concepção dos axiomas. Uma dessas correntes destaca a intuitividade e auto-evidência dos axiomas; a outra destaca a sua formalidade e inclusive recusa-se a adscrever a qualquer axioma o predicado “é verdadeiro”. Esta última corrente, dita formalista, foi a que mais se impôs no nosso tempo.

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